Question

设数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项的和为S_n，点（a_n，S_n）在函数y=

1

8

x²+

1

2

x+

1

2

的图象上；数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n．其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，求证：数列{c_n}的前n项的和T_n＞

5

9

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据数列项和前n项和之间的关系即可求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出c_n=

an

bn

是表达式，利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项的和，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵点（a_n，S_n）在函数y=

1

8

x²+

1

2

x+

1

2

的图象上，
∴Sn=

1

8

an2+

1

2

an+

1

2

，①
当n≥2时，Sn-1=

1

8

an-12+

1

2

an-1+

1

2

，②
①-②得：an=

1

8

(an2-an-12)+

1

2

(an-an-1)，
即an+an-1=

1

4

(an+an-1)(an-an-1)，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
又a₁=2，∴a_n=4n-2；
∵b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n，
∴b1=2，

bn+1

bn

=

1

4

，∴bn=2•(

1

4

)n-1；
（2）∵cn=

an

bn

=(2n-1)4n-1，
∴Tn=1+3•4+5•42+…+(2n-3)•4n-2+(2n-1)•4n-1，
4T_n=4+3•4²+5•4³+…+（2n-5）•4^n-1+（2n-1）•4ⁿ，
两式相减得-3Tn=1+2(4+42+…+4n-1)-(2n-1)4n=-

5

3

-(2n-

5

3

)•4n＜-

5

3

，
∴Tn＞

5

9

．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列求和，要求数列掌握错位相减法进行数列求和．