题目内容
6．数列{an}满足：a1=1，a2=2，an+2=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$（n∈N*）．设bn=an+1-an，（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求最小正整数N的值，使n＞N时，|an-$\frac{5}{3}$|＜$\frac{2}{9n}$恒成立；
（3）数列{cn}满足${c_n}=\frac{3}{2}|{{a_n}-\frac{5}{3}}|$，cn的前n项和为Tn，是否存在正整数m、n，使得$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞cm+2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．
分析 （1）bn=an+1-an=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$-an+1=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$=-$\frac{1}{2}$bn，b1=1，利用等比数列的通项公式可得bn．，
（2）由（1）知，an+1-an=（-$\frac{1}{2}$）n-1，利用“累加求和”方法与等比数列的求和公式可得an．再利用数列的单调性即可得出．
（3）${c_n}=\frac{3}{2}|{{a_n}-\frac{5}{3}}|$=（$\frac{1}{2}$）n-1，可得Tn═2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，因此$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞cm+2，即$\frac{2-（\frac{1}{2}）^{n}-m}{2-（\frac{1}{2}）^{n-1}-m}$＞$（\frac{1}{2}）^{m+1}$．对m，n分类讨论即可得出．
解答 解：（1）bn=an+1-an=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$-an+1=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$=-$\frac{1}{2}$bn，b1=1
∴{bn}得公比为-$\frac{1}{2}$，首项为1的等比数列，{bn}的通项公式是bn=（-$\frac{1}{2}$）n-1，
（2）由（1）知，an+1-an=（-$\frac{1}{2}$）n-1，
当n＞1时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+1+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）2+…+（-$\frac{1}{2}$）n-2
=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{2}$）n-1，
又a1=1=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$，
∴数列{an}的通项公式是an=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{2}$）n-1，
∴|an-$\frac{5}{3}$|=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$）n-2，
∴|an-$\frac{5}{3}$|＜$\frac{2}{9n}$等价于3n•（$\frac{1}{2}$）n-1＜1
记Dn=3n•（$\frac{1}{2}$）n-1，
∵$\frac{{D}_{n+1}}{{D}_{n}}$=$\frac{n+1}{2n}$，
∴D1=D2且n＞1时，Dn＞Dn+1，
计算可得D4＞1，D5＜1，
所以最小正整数N的值是4，
（3）${c_n}=\frac{3}{2}|{{a_n}-\frac{5}{3}}|$=（$\frac{1}{2}$）n-1，
∴Tn═$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∵$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞cm+2，
∴$\frac{2-（\frac{1}{2}）^{n}-m}{2-（\frac{1}{2}）^{n-1}-m}$＞$（\frac{1}{2}）^{m+1}$．
①m=1时，可得：$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}$＞$\frac{1}{4}$，即$3＞（\frac{1}{2}）^{n-1}$，n≠1，因此n≥2时恒成立．
②m=2时，不等式化为：$\frac{1}{2}＞$$\frac{1}{8}$，n∈N*时恒成立．．
③m≥3时，化为：$\frac{m-2+（\frac{1}{2}）^{n}}{m-2+（\frac{1}{2}）^{n-1}}$＞$（\frac{1}{2}）^{m+1}$．对于?n∈N*恒成立．
点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、数列的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | 若m?α，n?α，且m、n是异面直线，那么n与α相交 | |
| B． | 若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β | |
| C． | 若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β | |
| D． | 若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n |
如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=$\frac{1}{2}$AF=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$．| A． | -2 | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 2 |
如图1，2，已知ABCD是矩形，M，N分别为边AD，BC的中点，MN与AC交于点O，沿MN将矩形MNCD折起，设AB=2，BC=4，二面角B-MN-C的大小为θ．