数列{an}满足:a1=1.a2=2.an+2=$\frac{{a} {n}+{a} {n+1}}{2}$．设bn=an+1-an.(1)求数列{bn}的通项公式,(2)求最小正整数N的值.使n＞N时.|an-$\frac{5}{3}$|＜$\frac{2}{9n}$恒成立,(3)数列{cn}满足${c n}=\frac{3}{2}|{{a n}-\frac{5}{3}}|$.cn� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$（n∈N*）．设b_n=a_n+1-a_n，
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求最小正整数N的值，使n＞N时，|a_n-$\frac{5}{3}$|＜$\frac{2}{9n}$恒成立；
（3）数列{c_n}满足${c_n}=\frac{3}{2}|{{a_n}-\frac{5}{3}}|$，c_n的前n项和为T_n，是否存在正整数m、n，使得$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞c_m+2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

分析（1）b_n=a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$-a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$=-$\frac{1}{2}$b_n，b₁=1，利用等比数列的通项公式可得b_n．，
（2）由（1）知，a_n+1-a_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，利用“累加求和”方法与等比数列的求和公式可得a_n．再利用数列的单调性即可得出．
（3）${c_n}=\frac{3}{2}|{{a_n}-\frac{5}{3}}|$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，可得T_n═2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，因此$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞c_m+2，即$\frac{2-（\frac{1}{2}）^{n}-m}{2-（\frac{1}{2}）^{n-1}-m}$＞$（\frac{1}{2}）^{m+1}$．对m，n分类讨论即可得出．

解答解：（1）b_n=a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$-a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$=-$\frac{1}{2}$b_n，b₁=1
∴{b_n}得公比为-$\frac{1}{2}$，首项为1的等比数列，{b_n}的通项公式是b_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
（2）由（1）知，a_n+1-a_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
当n＞1时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+…+（-$\frac{1}{2}$）^n-2
=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
又a₁=1=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴|a_n-$\frac{5}{3}$|=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$）^n-2，
∴|a_n-$\frac{5}{3}$|＜$\frac{2}{9n}$等价于3n•（$\frac{1}{2}$）^n-1＜1
记D_n=3n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∵$\frac{{D}_{n+1}}{{D}_{n}}$=$\frac{n+1}{2n}$，
∴D₁=D₂且n＞1时，D_n＞D_n+1，
计算可得D₄＞1，D₅＜1，
所以最小正整数N的值是4，
（3）${c_n}=\frac{3}{2}|{{a_n}-\frac{5}{3}}|$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n═$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∵$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞c_m+2，
∴$\frac{2-（\frac{1}{2}）^{n}-m}{2-（\frac{1}{2}）^{n-1}-m}$＞$（\frac{1}{2}）^{m+1}$．
①m=1时，可得：$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}$＞$\frac{1}{4}$，即$3＞（\frac{1}{2}）^{n-1}$，n≠1，因此n≥2时恒成立．
②m=2时，不等式化为：$\frac{1}{2}＞$$\frac{1}{8}$，n∈N^*时恒成立．．
③m≥3时，化为：$\frac{m-2+（\frac{1}{2}）^{n}}{m-2+（\frac{1}{2}）^{n-1}}$＞$（\frac{1}{2}）^{m+1}$．对于?n∈N^*恒成立．

点评本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、数列的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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	A．	若m?α，n?α，且m、n是异面直线，那么n与α相交
	B．	若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β
	C．	若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β
	D．	若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n

16．

如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=$\frac{1}{2}$AF=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求证：AF⊥BC；
（Ⅱ）线段AB上是否存在一点G，使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{93}}{31}$，若存在，求AG的长；若不存在，说明理由．

13．在极坐标系中，点A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）、B（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），直线l平行于直线AB，且将封闭曲线C：ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）（ρ≥0）所围成的面积平分，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系
（Ⅰ）在直角坐标系中，求曲线C及直线l的参数方程；
（Ⅱ）设点M为曲线C上的动点，求|MA|²+|MB|²的取值范围．

1．已x，y∈R，满足x²+y²+2x=0，则2x+y的最大值、最小值分别为-2+$\sqrt{5}$，-2-$\sqrt{5}$．

11．若sin⁴α+cos⁴α=1，则sinα+cosα的值等于±1．

18．已知A（-2，0），B（2，0），斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足：|MA|-|MB|=2$\sqrt{3}$，|NA|-|NB|=2$\sqrt{3}$，且线段MN的中点为（6，1），则k的值为（　　）

15．已知函数f（x）=|2x-1|
（Ⅰ）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1（m＞0）的解集为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤|y|+|a-y|+|2x|，对任意的实数x，y∈R都成立，求正实数a的最小值．

16．

如图1，2，已知ABCD是矩形，M，N分别为边AD，BC的中点，MN与AC交于点O，沿MN将矩形MNCD折起，设AB=2，BC=4，二面角B-MN-C的大小为θ．
（1）当θ=90°时，求cos∠AOC的值；
（2）点θ=60°时，点P是线段MD上一点，直线AP与平面AOC所成角为α．若$sinα=\frac{{\sqrt{14}}}{7}$，求线段MP的长．

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