Question

13．在极坐标系中，点A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）、B（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），直线l平行于直线AB，且将封闭曲线C：ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）（ρ≥0）所围成的面积平分，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系
（Ⅰ）在直角坐标系中，求曲线C及直线l的参数方程；
（Ⅱ）设点M为曲线C上的动点，求|MA|²+|MB|²的取值范围．

Answer 1

分析 （I）曲线C：ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）（ρ≥0）即ρ²=2ρ（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程．点A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）、B（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），利用互化公式可得直角坐标，可得k_AB．根据直线l平行于直线AB，将封闭曲线C：ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）（ρ≥0）所围成的面积平分，可得直线l的斜率k_l=k_AB，经过圆心C．可得直线l的参数方程．．
（II）设M$（\frac{1}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ）$，利用两点之间的距离公式可得|MA|²+|MB|²=4-2$sin（θ+\frac{π}{6}）$及其范围．

解答 解：（I）曲线C：ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）（ρ≥0）即ρ²=2ρ（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），化为直角坐标方程：x²+y²=x+$\sqrt{3}$y．
配方为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1．
点A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）、B（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），分别化为直角坐标：A$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，B$（0，\sqrt{3}）$，k_AB=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}{\frac{3}{2}-0}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵直线l平行于直线AB，将封闭曲线C所围成的面积平分，
∴直线的斜率k_l=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，经过圆心C$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
∴直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（II）设M$（\frac{1}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ）$，则|MA|²+|MB|²=（cosθ-1）²+sin²θ+$（\frac{1}{2}+cosθ）^{2}$+$（sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$
=4-$\sqrt{3}$sinθ-cosθ
=4-2$sin（θ+\frac{π}{6}）$∈[2，6]．

点评 本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、圆的性质、平行线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．