Question

已知命题p：方程（a+1）x²+（3-a）y²=1的曲线为椭圆；命题q：直线y=ax与曲线|y|=2

x2-1

（x≥1）有公共点．如果命题p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：本题的关键是给出命题p：方程（a+1）x²+（3-a）y²=1的曲线为椭圆；命题q：直线y=ax与曲线|y|=2

x2-1

（x≥1）有公共点为真时a的取值范围，在根据p、q一真一假给出a的取值范围．

解答： 解：∵命题p：方程（a+1）x²+（3-a）y²=1的曲线为椭圆；
∴若p为真，

a+1＞0 3-a＞0 a+1≠3-a

即-1＜a＜3且a≠1
∵命题q：直线y=ax与曲线|y|=2

x2-1

（x≥1）有公共点
∴曲线|y|=2

x2-1

（x≥1）为双曲线：x2-

y2

4

=1，其渐近线为y=2x，及y=-2x，
∴y=ax与其有交点则说明y=ax在两条渐近线之间，即-2＜a＜2
∵如果命题p∨q为真，p∧q为假，
∴p、q一真一假，
综上，a的取值范围：2≤a＜3 或-2＜a≤-1

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．