Question

12．已知△ABC的顶点A（2，4），∠ABC的角平分线BM所在的直线方程为y=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0．
（1）求AC所在的直线方程；
（2）求顶点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的两条直线斜率的关系，算出AC的斜率k_AC，由直线方程的点斜式可得直线AC方程；
（2）求出AB所在直线方程，设出C的坐标，求出C关于直线y=0的对称点，由点在直线上列式求得C的坐标．

解答 解：（1）∵AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0，
${k}_{BH}=-\frac{2}{3}$，则AC所在直线的斜率为$\frac{3}{2}$，
∵A（2，4），
∴AC所在直线方程为y-4=$\frac{3}{2}（x-2）$，即3x-2y+2=0；
（2）∵∠ABC的角平分线所在的直线方程为y=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{2x+3y+12=0}\end{array}\right.$，解得B（-6，0）．
∴AB所在直线方程为$\frac{y-0}{4-0}=\frac{x+6}{2+6}$，即x-2y+6=0．
设C（m，n），则C关于y=0的对称点为（m，-n），
则$\left\{\begin{array}{l}{3m-2n+2=0}\\{m+2n+6=0}\end{array}\right.$，解得m=-2，n=-2．
∴顶点C的坐标为（-2，-2）．

点评 本题考查直线方程的求法，训练了点关于直线的对称点的求法，属于中档题．