题目内容

8．已知△ABC中，D是BC的中点，$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，AD和CE相交于点P，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$．
（ I）用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}$；
（ II）若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}$，求实数λ的值．

分析 （ I）利用D是BC的中点，$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，得到$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}$；
（ II）设$\overrightarrow{CP}=μ\overrightarrow{CE}$，将$\overrightarrow{AP}$用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示，根据平面向量基本定理得到关于λ，μ的方程组解之．

解答 解：（ I）因为D是BC的中点，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$；
$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow a-\overrightarrow b$．
（ II）设$\overrightarrow{CP}=μ\overrightarrow{CE}$，则$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AC}+μ\overrightarrow{CE}=\overrightarrow b+μ（\frac{2}{3}\overrightarrow a-\overrightarrow b）=\frac{2}{3}μ\overrightarrow a+（1-μ）\overrightarrow b$，
又$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}=λ•\frac{1}{2}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=\frac{1}{2}λ\overrightarrow a+\frac{1}{2}λ\overrightarrow b$，
∵$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$不共线，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}μ=\frac{1}{2}λ\\ 1-μ=\frac{1}{2}λ\end{array}\right.$，解得：$λ=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了平面向量基本定理的运用；考查平面向量的运算；属于基础题．

练习册系列答案
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