Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=

7

，PA=

3

，∠ABC=120°，G为线段PC的中点．
（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求DG的长．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设O为AC，BD的交点，由AB=BC，AD=CD，得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，从而BD⊥平面APC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．
（2）连结OG，由题意得OG=

1

2

PA=

3

2

，AC=2

3

，OC=

1

2

AC=

3

，在Rt△OCD中，OD=

CD2-OC2

=2，由此能求出DG．

解答： （1）证明：设O为AC，BD的交点，
∵AB=BC，AD=CD，∴BD是AC的中垂线，
∴O为AC的中点，BD⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面APC，
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）解：连结OG，由（1）知OD⊥APC，
∴DG在平面APC内的射影为OG，
由题意得OG=

1

2

PA=

3

2

，
AC=

4+4-2×2×2×cos120°

=2

3

，
∴OC=

1

2

AC=

3

，在Rt△OCD中，OD=

CD2-OC2

=2，
∴DG=

OG2+OD2

=

3 4 +4

=

17

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．