Question

已知直线l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（Ⅰ）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；
（Ⅱ）过点M（-1，-2）作一条直线l₁，使l₁夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l₁的方程．

Answer 1

考点：过两条直线交点的直线系方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）利用直线系列出方程组，即可得到直线l恒过一定点；
（Ⅱ）设出直线l₁的方程，求出AB坐标以及中点坐标，即可求解直线方程．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：∵m（x-2y-3）+2x+y+4=0
∴由题意得

x-2y-3=0 2x+y+4=0

∴直线l恒过定点M（-1，-2）．     …（4分）
（Ⅱ）解：设所求直线l₁的方程为y+2=k（x+1），直线l₁与x轴、y轴交于A、B两点，
则A(

2

k

-1，0)，B（0，k-2）．…（8分）
∵AB的中点为M，
∴

-2= 2 k -1 -4=k-2

  解得k=-2．…（10分）
∴所求直线l₁的方程为2x+y+4=0．…（12分）

点评：本题考查直线系方程的应用，直线方程的求法，考查转化思想及计算能力．