Question

在一条笔直的工艺流水线上有n个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x₁，x₂，…，x_n，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．

（Ⅰ）若n=2，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）若n=5，工作台从左到右的人数依次为3，2，1，2，2，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,绝对值不等式

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）若n=2，根据条件建立d（x）的关系式，即可确定供应站的位置；
（Ⅱ）若n=5，根据条件建立d（x）的关系式，即可确定供应站的位置．

解答： 解：设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）．
（Ⅰ）d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|=

-2x+(x1+x2)，x＜x1 x2-x1，x1≤x≤x2 2x-(x1+x2)，x＞x2

，
当x＜x₁时，d（x）=-2x+（x₁+x₂）在区间（-∞，x₁）上是减函数；
当x＞x₂时，d（x）=2x-（x₁+x₂）在区间（x₂，+∞）上是增函数．
则当x∈[x₁，x₂]时，d（x）=x₂-x₁式取最小值，即供应站的位置为[x₁．x₂]内的任意一点．  
（Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）=3|x-x₁|+2|x-x₂|+|x-x₃|+2|x-x₄|+2|x-x₅|，
类似于（Ⅰ）的讨论知，x₁≤x≤x₅，且有d(x)=

2x1+x3+2x4+2x5-3x1-4x，x1≤x＜x2 x3+2x4+2x5-3x1-2x2，x2≤x＜x3 2x+2x4+2x5-3x1-2x2-x3，x3≤x＜x4 6x+2x5-3x1-2x2-x3-2x4，x4≤x＜x5

，
所以，函数d（x）在区间（x₁，x₂）上是减函数，在区间（x₃，x₅）上是增函数，在区间[x₂，x₃]上是常数．
故供应站位置位于区间[x₂，x₃]上任意一点时，均能使函数d（x）取得最小值，且最小值为x₃+2x₄+2x₃-3x₁-2x₂，x₂≤x≤x₃．

点评：本题主要考查分段函数的最值的计算，综合性较强，难度较大．