Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，短轴长为2．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由离心率的计算公式和a²=b²+c²及b=1即可得到a²得到椭圆的方程；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E点，则

EC

•

ED

=0，将它们联立消去x₁，x₂即可得出k的值．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，短轴长为2，
∴

a2-b2 a = 6 3 b=1

，
∴a=

3

，b=1，
椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）假若存在这样的k值，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

②
若以CD为直径的圆过E点，则

EC

•

ED

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
代入上式得，化为（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
把（**）代入上式得

9k2

1+3k2

-

12k(2k+1)

1+3k2

+5=0
解得k=

7

6

，满足k²＞1．
∴存在k=

7

6

，使得以线段CD为直径的圆过E点．

点评：熟练掌握椭圆的方程、离心率的计算公式和a²=b²+c²、直线与椭圆的相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程及根与系数的关系是解题的关键．