Question

在等差数列{a_n}中，首项a₁=1，数列{b_n}满足b_n=（

1

2

） an，且b₁b₂b₃=

1

64

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，结合已知b_n=（

1

2

） an及b₁b₂b₃=

1

64

列式求得d，则等差数列的通项公式可求；
（2）设a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=S_n，然后利用错位相减法求和．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵b_n=（

1

2

） an，且b₁b₂b₃=

1

64

，
∴(

1

2

)1•(

1

2

)1+d•(

1

2

)1+2d=(

1

2

)3+3d=

1

64

，则d=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）设a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=S_n，
则S_n=1×(

1

2

)1+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n，

1

2

Sn=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1．
两式作差得：

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n(

1

2

)n+1
=1-

1

2n

-n(

1

2

)n+1．
∴Sn=2-

1

2n-1

-

n

2n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．