Question

已知函数g（x）对一切实数x，y都有g（x+y）-g（y）-x（x+2y+1）成立，是g（x）=0，且f（x）=

g(x)-3x+3

x

．
（1）求g（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知k∈R，设P：不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，Q：f（|2^x-1|）+k•

2

|2x-1|

-3k=0有三个不同的实数解，如果满足P成立的k的集合记为A，满足Q成立的k的集合记为B，求A∩B．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋x=-1，y=1求出f（0）；
（2）在（1）基础上赋值y=0可以实现求解f（x）的解析式的问题；
（3）利用分离参数法，求出函数的最值，即可求出集合A，方程f（|2^x-1|）+k•

2

|2x-1|

-3k=0⇒|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，（|2^x-1|≠0），令|2^x-1|=t，则t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围，继而的都集合B，再根据交集的运算求出结果

解答： 解：（1）∵g（x+y）-g（y）=x（x+2y+1），g（1）=0，
令x=1，y=0，得g（1）-g（0）=1×（1+0+1）=2，
故g（0）=-2，
（2）令y=0，则g（x）-g（0）=x（x+1），
∴g（x）=x²+x-2，
∴f（x）=

g(x)-3x+3

x

=x+

1

x

-2
（3）∵f（2^x）-k•2^x≥0
∴k≤

f(2x)

2x

=(

1

2x

)2-2（

1

2x

）+1，
设

1

2x

=t，t∈[

1

2

，2]，
∴k≤（t-1）²，
∵（t-1）²_max=1，
∴k≤1，
∴A=（-∞，1]，
∵f（|2^x-1|）+k•

2

|2x-1|

-3k=0可化为：
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0，
令|2^x-1|=t，则方程化为t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），
∵f（|2^x-1|）+k•

2

|2x-1|

-3k=0有三个不同的实数解，
∴由t=|2^x-1|的图象知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1．
记h（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），
由题意可知，

h(0)=1+2k＞0 h(1)=-k＜0

或

h(0)=1+2k＞0 h(1)=-k＜0 0＜ 2+3k 2 ＜1

解得k＞0，
∴B=（0，+∞）
∴A∩B=（0，1]

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法求解恒成立问题，考查函数与方程思想，属于难题．