Question

20．如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

Answer 1

分析 此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得t=1，随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2，由此能求出t的取值的范围．

解答 解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得t=1，
随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2
∵CB⊥AB，CB⊥DK，
∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，
对于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=$\sqrt{3}$，
又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，∴AD⊥BD
 再由DK⊥AB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=$\frac{1}{2}$，
∴t的取值的范围是（$\frac{1}{2}$，1）
故选：B．

点评 本题考查线段长的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意特殊值法的合理运用．