Question

7．设a，b，c，d都是奇数，0＜a＜b＜d，并且ad=bc，a+d=2^k，b+c=2^m，k，m∈N，证明：a=1．

Answer 1

分析 利用作差法证明a+d＞b+c，即2^k＞2^m，得到k＞m，再由ad=bc，得到a（2^k-a）=b（2^m-b），2^m（b-2^k-ma）=b²-a²=（b+a）（b-a），可知2^m整除（b+a）（b-a），但b+a，b-a不能都被4整除，进一步得到2^m-1必整除b+a或b-a之一，结合a，b是奇数，它们的公约数也是奇数，且是b+a与b-a的因数，从而是2^m-1的奇因数，即为1，可得a与b互质，a与c也互质，再由ad=bc，知a能整除bc，证得a=1．

解答 证明：∵a[（a+d）-（b+c）]=a²+ad-ab-ac=a²+bc-ab-ac
=（a-b）（a-c）＞0，
∴a+d＞b+c，即2^k＞2^m，则k＞m，
又由ad=bc，有a（2^k-a）=b（2^m-b），
又2^m（b-2^k-ma）=b²-a²=（b+a）（b-a），
可知2^m整除（b+a）（b-a），但b+a，b-a不能都被4整除（因为它们的和是2b，而2b是奇数），
∴2^m-1必整除b+a或b-a之一，
∵a，b是奇数，它们的公约数也是奇数，且是b+a与b-a的因数，从而是2^m-1的奇因数，即为1，
∴a与b互质，同理a与c也互质，但由ad=bc，知a能整除bc，故a=1．

点评 本题考查函数与方程的综合运用，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力和推理运算能力，难度较大．