Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（5cosα，4），$\overrightarrow{b}$=（3，4tanα），其中α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求sin2α的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=5，向量$\overrightarrow{c}$=（2，0），求证：（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标结合向量共线的条件列式求得sinα，进一步得到cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；
（2）由已知求得cosα，得到tanα，求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标，然后利用数量积证得答案．

解答 （1）解：∵$\overrightarrow{a}$=（5cosα，4），$\overrightarrow{b}$=（3，4tanα），且$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，
∴5cosα•4tanα-12=0，得20sinα=12，sin$α=\frac{3}{5}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cosα=$-\frac{4}{5}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$2×\frac{3}{5}×（-\frac{4}{5}）=-\frac{24}{25}$；
（2）证明：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{25co{s}^{2}α+16}=5$，
得cosα=-$\frac{3}{5}$，则sinα=$\frac{4}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$=（5cosα，4）=（-3，4），$\overrightarrow{b}$=（3，4tanα）=（3，-$\frac{16}{3}$），
则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（0，-\frac{4}{3}）$，
∵$\overrightarrow{c}$=（2，0），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=0×$2-\frac{4}{3}×0=0$．
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与夹角的关系，是中档题．