Question

设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.

（Ⅲ）证明：（）的充分必要条件为.

Answer 1

（Ⅰ）解：由等比数列的，，

得，，，且当时，.           

      所以，，，且当时，.        

      即                                       

（Ⅱ）证明：因为 ，

所以 ，.            

因为 ，

所以 ，.                   

     由 ，得 .                                      

因为 ，

     所以 ，

     所以 ，即 .                     

（Ⅲ）证明：（充分性）因为 ，，

 所以 ，

 所以  对一切正整数n都成立.                   

因为 ，，

所以 .                                             

（必要性）因为对于任意的，，

当时，由，得；

当时，由，，得.

所以对一切正整数n都有.                              

由 ，，得对一切正整数n都有，          

所以公比为正有理数.                                

假设 ，令，其中，且与的最大公约数为1.

因为是一个有限整数，

所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除.

又因为，且与的最大公约数为1.

所以，这与（）矛盾.

所以.

因此，.