Question

已知a＞0，命题p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立，命题q：?k∈R，直线kx-y+2=0与椭圆x²+

y2

a2

=1有公共点，求使得p∨q为真命题，p∧q为假命题的实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：根据基本不等式，以及通过方程判断直线和椭圆交点情况方法即可求出命题p，q下a的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，知道p真q假，或p假q真，求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：命题p：因为a＞0时，对?x＞0，x+

a

x

≥2

a

，则：
2

a

≥2，a≥1；
命题q：由

kx-y+2=0 x2+ y2 a2 =1

得：（k²+a²）x²+4kx+4-a²=0 则：
△=4a²（a²+k²-4）≥0，即a²≥-k²+4；
而-k²+4在R上的最大值为4；
∴a²≥4，∵a＞0，∴解得a≥2；
p∨q为真命题，p∧q为假命题时，p，q一真一假；
∴（1）若p真q假，则：

a≥1 0＜a＜2

；
∴1≤a＜2；
（2）若p假q真，则：

0＜a＜1 a≥2

；
∴a∈∅；
综上可得，a的取值范围是[1，2）．

点评：考查基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，直线和椭圆交点情况和对应方程组解的关系，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．