Question

已知三点A（2，0），B（1，3），C（2，2）在圆C上，直线l：3x+y-6=0，
（1）求圆C的方程；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

考点：圆的一般方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）利用待定系数法求圆C的方程；
（2）求出点C（0，1）到直线l的距离，由d＜r知：直线l与圆C相交，进而可求直线l被圆C截得的弦长．

解答： 解：（1）设圆C的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，…（1分）
由题意得：

2D+F+4=0 D+3E+F+10=0 2D+2E+F+8=0

，…（3分）
消去F得：

D-3E=6 -D+E=-2

，解得：

D=0 E=-2

，
∴F=-4，…（5分）
∴圆C的方程为：x²+y²-2y-4=0．…（6分）
（2）由（1）知：圆C的标准方程为：x²+（y-1）²=5，圆心C（0，1），半径r=

5

；…（7分）
点C（0，1）到直线l的距离d=

|3×0+1-6|

32+12

=

10

2

；…（9分）
由d＜r知：直线l与圆C相交； …（10分）
直线l被圆C截得的弦长为：2

r2-d2

=2

5- 5 2

=

10

．…（12分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线l被圆C截得的弦长的计算，属于中档题．