Question

设函数f（x）=x•e^kx（k≠0）（（e^kx）′=ke^kx）
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数f′（x），切线斜率为f′（0）=1，切点（0，0），由点斜式可求切线方程；
（2）f′（x）=（kx+1）e^kx（x∈k），令f′（x）=0，得x=-

1

k

，分k＞0，k＞0两种情况讨论，在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可；

解答： 解：（1）f′（x）=e^kx+kxe^kx=（1+kx）e^kx（x∈R），且f′（0）=1，
∴切线斜率为1，
又f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y=0．
（2）f′（x）=（kx+1）e^kx（x∈k），令f′（x）=0，得x=-

1

k

，
①若k＞0，当x∈（-∞，-

1

k

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（-

1

k

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
②若k＜0，当x∈（-∞，-

1

k

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（-

1

k

，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上所述，k＞0时，f（x）的单调递减区间为（-∞，-

1

k

），单调递增区间为（-

1

k

，+∞）；
k＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-

1

k

），单调递减区间为（-

1

k

，+∞）；

点评：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，属中档题．