Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，其中a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

（1）求S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜出S_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先确定S_n-1S_n-2S_n+1=0，再计算S₁，S₂，S₃的值；
（2）由（1）猜想S_n=

n

n+1

，用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答： 解：（1）由题设（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
由（1）得S₁=a₁=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

．
由①可得S₃=

3

4

．
（2）由（1）猜想S_n=

n

n+1

，
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n=1时已知结论成立．
（ii）假设n=k时结论成立，即S_k=

k

k+1

，
当n=k+1时，由①得S_k+1=

1

2-Sk

，即S_k+1=

k+1

k+2

，故n=k+1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知S_n=

n

n+1

对所有正整数n都成立．

点评：本题考查数列的函数特性，考查考查了数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立