Question

数列{a_n}的前n项和S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ+1，求{a_n}的通项．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：首先利用递推关系式，求得当n≥2时，an=2an-1-2n-1然后利用构造新数列

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

说明新数列是等差数列，进一步求出通项公式．

解答： 解：数列{a_n}的前n项和S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ+1①
则：n≥2时，Sn-1=2an-1-2n-1+1②
所以：①-②得：an=2an-2an-1-2n+2n-1
整理得：an=2an-1-2n-1
所以：

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

（常数）
数列{

an

2n

}是以

a1

2

为首项

1

2

位公差的等差数列．
当n=1时解得：a₁=1
所以：

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)
解得：an=n•2n-1
a₁=1符合该通项公式．
an=n•2n-1

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式和构造新数列求数列的通项公式，属于中档题型．