Question

15．已知与向量$\overrightarrow{v}$=（1，0）平行的直线l与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1相交于A、B两点，则|AB|的最小值为4．

Answer 1

分析 由题意可设y=t，代入双曲线方程，求得交点A，B，由两点距离公式结合二次函数最值求法，可得最小值．

解答 解：与向量$\overrightarrow{v}$=（1，0）平行的直线l，
可设为y=t，
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可得
x=±2$\sqrt{1+{t}^{2}}$，
则A（2$\sqrt{1+{t}^{2}}$，t），B（-2$\sqrt{1+{t}^{2}}$，t），
可得|AB|=4$\sqrt{1+{t}^{2}}$≥4，
当t=0时，|AB|取得最小值4．
故答案为：4．

点评 本题考查双曲线的方程和应用，同时考查向量平行的性质，以及运算能力，属于中档题．