Question

20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a（sinA-sinB）+bsinB=csinC．
（Ⅰ）求角c的值
（Ⅱ）若2cos²$\frac{A}{2}$-2sin²$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且A＜B，求$\frac{c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理化简已知的式子，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的值；
（Ⅱ）由二倍角余弦公式的变形化简已知的式子，由（I）和内角和定理求出B的表达式，由A和B大小关系判断A是锐角，代入化简后的式子，由两角差的余弦公式、两角和的正弦公式化简后，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A、B，由正弦定理可求出$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：（Ⅰ）∵a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
∴由正弦定理得，a（a-b）+b²=c²，
则a²+b²-c²=ab，
∴由余弦定理得，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵2cos²$\frac{A}{2}$-2sin²$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴1+cosA-（1-cosB）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则cosA+cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由C=$\frac{π}{3}$得，A+B=π-C=$\frac{2π}{3}$，
∵A＜B，∴A是锐角，且B=$\frac{2π}{3}$-A，
代入上式得，cosA+cos（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cosA$-\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A是锐角，∴A=$\frac{π}{6}$，则B=$\frac{π}{2}$，
由正弦定理得，$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理，余弦定理，二倍角余弦公式的变形、两角和的正弦公式等等的应用，注意内角的范围，考查转化思想，化简、变形能力．