题目内容
19．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（1）求证：b2=ac；
（2）若a=2c=2，求△ABC的面积．
分析 （1）根据三角恒等变换化简sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，再利用正弦定理可得b2=ac；
（2）根据题意求出a、c和b的值，利用余弦定理求出cosB，再根据同角的三角函数关系求出sinB，计算△ABC的面积即可．
解答 解：（1）证明：在△ABC中，由于sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
所以sinB（$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinC}{cosC}$）=$\frac{sinA}{cosA}$•$\frac{sinC}{cosC}$，
因此sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC；
又A+B+C=π，
所以sin（A+C）=sinB，
因此sin2B=sinAsinC，
由正弦定理可得b2=ac；-----（6分）
（2）因为a=2c=2，
所以a=2，c=1，
又b2=ac，所以b=$\sqrt{2}$；
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{4}$，
又因为0＜B＜π，所以sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
所以△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．-----（12分）
点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．
练习册系列答案
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7．设a，b是非零实数，若a＞b，则命题正确的是（ ）
| A． | $\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$ | B． | a2＞ab | C． | $\frac{1}{{a{b^2}}}$＞$\frac{1}{{{a^2}b}}$ | D． | a2＞b2 |
4．下列点不是函数f（x）=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的图象的一个对称中心的是（ ）
| A． | （-$\frac{2π}{3}$，0） | B． | （$\frac{2π}{3}$，0） | C． | （$\frac{π}{12}$，0） | D． | （-$\frac{π}{6}$，0） |