Question

过点P（1，2）的直线l与x轴和y轴的交点分别为A（a，0）；B（0，b）（其中a＞0，b＞0），分别求满足下列条件的直线l的方程．
（1）a=b；             
（2）三角形AOB的面积最小．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）当a=b时可设直线的方程为

x

a

+

y

a

=1，代点可得a值，可得方程；             
（2）由题意易得

1

a

+

2

b

=1，由基本不等式可得ab≥8，当且仅当

1

a

=

2

b

即a=2且b=4时取等号，由此可得直线方程．

解答： 解：（1）当a=b时可设直线的方程为

x

a

+

y

a

=1，
代入点P（1，2）可得

3

a

=1，解得a=3，
∴直线l的方程为x+y-3=0；             
（2）由题意可得直线的方程为：

x

a

+

y

b

=1，
由直线过点P（1，2）可得

1

a

+

2

b

=1，
∵a＞0，b＞0，∴1=

1

a

+

2

b

≥2

1 a • 2 b

，
∴

ab

≥2

2

，∴ab≥8，
当且仅当

1

a

=

2

b

即a=2且b=4时取等号，
∴三角形AOB的面积S=

1

2

ab≥4，
∴当三角形AOB的面积取最小值4时，
直线方程为

x

2

+

y

4

=1即2x+y-4=0．

点评：本题考查直线的一般式方程，涉及截距式方程和基本不等式，属基础题．