Question

4．某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如右图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．

（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？

是否 优良 班级	优良 （人数）	非优良 （人数）	合计
甲
乙
合计

（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.010
k	2.706	3.841	6.635

（以下临界值及公式仅供参考${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根据题意，填写列联表，计算K²，对照临界值得出结论；
（2）根据分层抽样原理，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．

解答 解：（1）根据题意，填写列联表如下；

是否 优良 班级	优良 （人数）	非优良 （人数）	合计
甲	30	30	60
乙	20	40	60
合计	50	70	120

计算${K^2}=\frac{{120×{{（30×40-30×20）}^2}}}{60×60×50×70}=\frac{24}{7}≈3.43＞2.706$，
则有90%的把握认为学生成绩优良与班级有关；
（2）分层抽样甲班抽取了3人，记作A₁，A₂，A₃，
乙班抽取了2人，记作B₁，B₂，
从中任意抽取3人，有
A₁A₂A₃，A₁A₂B₁，A₁A₂B₂，A₁A₃B₁，
A₁A₃B₂，A₁B₁B₂，A₂A₃B₁，A₂A₃B₂，
A₂B₁B₂，A₃B₁B₂10种情形，
其中至少有2人来自甲班的有7种情形，
则至少有2人来自甲班的概率为P=$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．