Question

13．$\int_0^2{（\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}}-x）dx$=$\frac{π}{2}$-2．

Answer 1

分析 根据定积分的几何意义，求得${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，根据定积分的计算，即可求得答案．

解答 解：$\int_0^2{（\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}}-x）dx$=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx-${∫}_{0}^{2}$xdx，
${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的上半部分，
∴${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，
${∫}_{0}^{2}$xdx=$\frac{1}{2}$x²${丨}_{0}^{2}$=2，
∴$\int_0^2{（\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}}-x）dx$=$\frac{π}{2}$-2，
故答案为：$\frac{π}{2}$-2．

点评 本题考查定积分的运算，定积分的几何意义，考查计算能力，属于中档题．