Question

6．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占$\frac{8}{13}$，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：

	分数大于等于120分	分数不足120分	合 计
周做题时间不少于15小时	15	4	19
周做题时间不足15小时	10	16	26
合 计	25	20	45

（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（Ⅱ）（ i） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ ii） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （I）根据比例计算每周自主做数学题的时间不足15小时，且数学平均成绩不足120分的人数，再根据合计数填表；
（II）（i）计算抽取的人数中分数不足120分的人数，根据超几何分布的概率公式计算；
（ii）根据二项分布的性质计算．

解答 解：（Ⅰ）列联表：

	分数大于等于120分	分数不足120分	合计
周做题时间不少于15小时	15	4	19
周做题时间不足15小时	10	16	26
合计	25	20	45

∵${K^2}=\frac{{45{{（15×16-10×4）}^2}}}{25×20×19×26}≈7.287＞6.635$，
∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．
（Ⅱ）（ i）9×$\frac{20}{45}$=4，故需要从不足120分的学生中抽取4人．
X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{20}^{4}}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{16}^{1}}{{C}_{20}^{4}}$，P（X=2）=$\frac{{{C}_{4}^{2}C}_{16}^{2}}{{C}_{20}^{4}}$，P（X=3）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{16}^{3}}{{C}_{20}^{4}}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{16}^{4}}{{C}_{20}^{4}}$．
（ ii）从全校大于等于120分的学生中随机抽取1人，此人周做题时间不少于15小时的概率为$\frac{15}{25}$=0.6，
设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y，则Y～B（20，0.6），
故E（Y）=12，D（Y）=4.8．

点评 本题考查了独立性检验思想，离散型随机变量的分布列，属于中档题．