Question

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设

a

=

AB

，

b

=

AC

．
（1）设|

c

|=3，

c

∥

BC

，求

c

．
（2）求

a

与

b

的夹角．
（3）若k

a

+

b

与k

a

-2

b

互相垂直，求k．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）运用向量共线的坐标表示和向量的模的公式，计算即可得到；
（2）运用向量的夹角公式和夹角范围，即可得到；
（3）运用向量垂直的条件，得到k的方程，计算即可得到．

解答： 解：（1）由于

a

=

AB

，

b

=

AC

，
则

BC

=

AC

-

AB

=（-2，-1，2），
由于

c

∥

BC

，设

c

=k（-2，-1，2）．
由|

c

|=3，则9=k²（4+1+4），即有k=±1．
则

c

=（-2，-1，2）或（2，1，-2）；
（2）

a

=

AB

=（1，1，0），

b

=

AC

=（-2，-1，2），

a

•

b

=-2-1+0=-3，|

a

|=

2

，|

b

|=3，
cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

-3

3 2

=-

2

2

，
则

a

与

b

的夹角为：135°；
（3）k

a

+

b

与k

a

-2

b

互相垂直，
则（k

a

+

b

）•（k

a

-2

b

）=0，
则k²

a

2-2

b

2-k

a

•

b

=0，
即有2k²-2×9+3k=0，
解得，k=

-3±3 17

4

点评：本题考查空间向量的坐标运算，考查空间向量是数量积的坐标表示，以及向量的模和向量共线和垂直的表示，考查运算能力，属于中档题．