Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）
（1）若f（x₀）=2，x₀∈[0，

π

2

]，求x₀的值
（2）在△ABC中，f（A）=2，a=

5

，c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：由函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)+1．
（1）由于f（x₀）=2，可得sin(2x0-

π

4

)=

2

2

．再根据x₀∈[0，

π

2

]，可得(2x0-

π

4

)∈[-

π

4

，

3π

4

]，即可得出；（2）由f（A）=

2

sin(2x-

π

4

)+1=2．可得sin(2A-

π

4

)=

2

2

，由于A∈（0，π），可得(2A-

π

4

)∈(-

π

4

，

7π

4

)，即可解得A=

π

4

或

π

2

．分类讨论：（i）当A=

π

4

时，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
解得b，再利用S△ABC=

1

2

bcsinA即可得出．
（ii）当A=

π

2

时，利用勾股定理和三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1．
（1）∵f（x₀）=2，∴

2

sin(2x0-

π

4

)+1=2，化为sin(2x0-

π

4

)=

2

2

．
∵x₀∈[0，

π

2

]，∴(2x0-

π

4

)∈[-

π

4

，

3π

4

]，∴2x0-

π

4

=

π

4

或

3π

4

，解得x₀=

π

4

或

π

2

．
（2）∵f（A）=

2

sin(2x-

π

4

)+1=2．
∴sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
∵A∈（0，π），∴(2A-

π

4

)∈(-

π

4

，

7π

4

)，∴2A-

π

4

=

π

4

或

3π

4

，解得A=

π

4

或

π

2

．
（i）当A=

π

4

时，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴5=b²+1-2b×2×

2

2

，化为b2-2

2

b-4=0，
又b＞0，解得b=

2

+

6

．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×(

2

+

6

)×1×

2

2

=

1+ 3

2

．
（ii）当A=

π

2

时，b²=a²-c²=5-1=4，∴b=2．
∴S_△ABC=

1

2

bc=

1

2

×2×1=1．

点评：本题考查了三角函数的单调性、倍角公式、两角和差的正弦公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．