题目内容
已知函数f（x）=2x3+ax的图象经过点P（2，4）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式及其导数f′（x）；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-2，2]上的最大值和最小值．
（Ⅰ）求f（x）的表达式及其导数f′（x）；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-2，2]上的最大值和最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）利用函数f（x）=2x3+ax的图象经过点P（2，4），代入计算求f（x）的表达式及其导数f′（x）；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，可得函数的极值与端点函数值比较，即可得到结论．
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，可得函数的极值与端点函数值比较，即可得到结论．
解答：
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x3+ax的图象经过点P（2，4），
∴16+2a=4，
∴a=-6，
∴f（x）=2x3-6x，
∴f′（x）=6x2-6；
（Ⅱ）f′（x）=6x2-6=0，可得x=±1；
∴函数在（-2，-1），（1，2）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
∵f（-2）=-4，f（-1）=4，f（1）=-4，f（2）=4，
∴f（x）在闭区间[-2，2]上的最大值为4、最小值为-4．
∴16+2a=4，
∴a=-6，
∴f（x）=2x3-6x，
∴f′（x）=6x2-6；
（Ⅱ）f′（x）=6x2-6=0，可得x=±1；
∴函数在（-2，-1），（1，2）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
∵f（-2）=-4，f（-1）=4，f（1）=-4，f（2）=4，
∴f（x）在闭区间[-2，2]上的最大值为4、最小值为-4．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．
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