Question

18．已知O为坐标原点，F₁、F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点，A为C的左顶点，P为C上一点，且PF₁⊥x轴，过点A的直线l与线段PF₁交于点M，与y轴交于点E，若直线F₂M与y轴交点为N，OE=2ON，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根据条件求出直线AE的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．

解答 解：∵PF₁⊥x轴，∴设M（-c，t），
则A（-a，0），B（a，0），
AE的斜率k=$\frac{t}{a-c}$，则AE的方程为y=$\frac{t}{a-c}$（x+a），
令x=0，则y=$\frac{ta}{a-c}$，即E（0，$\frac{ta}{a-c}$），
∵N（0，$\frac{t}{2}$），
∵|OE|=2|ON|，
∴2|$\frac{t}{2}$|=|$\frac{ta}{a-c}$|，
即c=2a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．