Question

10．已知函数f（x）=a^x-e（x+1）lna-$\frac{1}{a}$（a＞0，且a≠1）
（I）当a=e时，求函数y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）只有一个零点，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，分0＜a＜1和a＞1求得原函数的最小值，由最小值等于0求得a值．

解答 解：（Ⅰ）a=e时，f（x）=e^x-e（x+1）-$\frac{1}{e}$，
f′（x）=e^x-e，f（1）=e-2e-$\frac{1}{e}$=-e-$\frac{1}{e}$，f′（1）=0，
故切线方程是：y=e+$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e），
当0＜a＜1时，由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＜0，得a^x-e＞0，即x＜$\frac{1}{lna}$
由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＞0，得a^x-e＜0，即x＞$\frac{1}{lna}$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{lna}$）上为减函数，在（$\frac{1}{lna}$，+∞）上为增函数，
∴当x=$\frac{1}{lna}$时函数取得最小值为f（$\frac{1}{lna}$）=a$\frac{1}{lna}$-e（$\frac{1}{lna}$+1）lna-$\frac{1}{a}$
=a$\frac{1}{lna}$-elna-e-$\frac{1}{a}$．
要使函数f（x）只有一个零点，则a$\frac{1}{lna}$-elna-e-$\frac{1}{a}$=0，得a=$\frac{1}{e}$；
当a＞1时，由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＜0，得a^x-e＜0，即x＜$\frac{1}{lna}$．
由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＞0，得a^x-e＞0，即x＞$\frac{1}{lna}$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{lna}$）上为减函数，在（$\frac{1}{lna}$，+∞）上为增函数，
∴当x=$\frac{1}{lna}$时函数取得最小值为f（$\frac{1}{lna}$）=a$\frac{1}{lna}$-e（$\frac{1}{lna}$+1）lna-$\frac{1}{a}$=a$\frac{1}{lna}$-elna-e-$\frac{1}{a}$．
要使函数f（x）只有一个零点，则a$\frac{1}{lna}$-elna-e-$\frac{1}{a}$=0，得a=$\frac{1}{e}$（舍）．
综上，若函数f（x）只有一个零点，则a=$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是压轴题．