Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求c-b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据余弦定理和夹角公式，以及特殊角的三角函数值即可求出；
（2）根据正弦定理和正弦函数的性质即可求出．

解答 解：（1）由$c（acosB-\frac{1}{2}b）={a^2}-{b^2}$，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
得a²+c²-b²-bc=2a²-2b²，
∴a²=b²+c²-bc，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∵角A为三角形内角，
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴$c-b=2sinc-2sinB=2sin（A+B）-2sinB=\sqrt{3}cosB-sinB=2sin（\frac{π}{3}-B）$，
∵$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$\frac{π}{3}-B∈（-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}）$，
∴$sin（\frac{π}{3}-B）∈（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
∴c-b∈（-1，1）．

点评 本题主要考查了正弦定理余弦定理，以及三角函数的化简和求值，解题的关键是公式的熟练应用，属于中档题．