Question

已知f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x；若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₁₃=（　　）

• A、2009
• B、-2009
• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），
∴且f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
即f（4+x）=f（x），
∴函数的周期是4．
∴a_n=f（n）的周期也是4，
∴a₂₀₁₃=a₁=f（1），
∵f（x）为偶函数，当-2≤x≤0时，f（x）=2^x；
∴f（-1）=f（1）=2^-1=

1

2

即a₂₀₁₃=a₁=f（1）=

1

2

，
故选：D．

点评：本题主要考查函数奇偶性和对称轴之间的关系得到函数的周期性，考查函数性质的综合应用．