Question

5．已知tanα=$\sqrt{2}$，cos（α+β）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），则tanβ=2$\sqrt{2}$；2α+β=π．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），tan（α+β），利用两角和的正切函数公式可求tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式可求tan2α，利用两角和的正切函数公式可求tan（2α+β），结合范围2α+β∈（0，$\frac{3π}{2}$），利用正切函数的性质可求2α+β=π．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（α+β）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵tanα=$\sqrt{2}$，
∴tan（α+β）=$\frac{sin（α+β）}{cos（α+β）}$=-$\sqrt{2}$=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\sqrt{2}+tanβ}{1-\sqrt{2}tanβ}$，
∴解得：tanβ=2$\sqrt{2}$，
∵tan2$α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-2$\sqrt{2}$，
∴tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=0，
又∵2α+β∈（0，$\frac{3π}{2}$），
∴2α+β=π．
故答案为：2$\sqrt{2}$，π．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，正切函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．