Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$．
（1）若函数f（x）的曲线上一条切线经过点M（0，0），求该切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[-3，+∞）上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，设切点是（a，$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$），求出a的值，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
设切点是（a，$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$），则k=f′（a）=$\frac{a（2-a）}{{e}^{a}}$，
故切线方程是：y-$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$=$\frac{a（2-a）}{{e}^{a}}$（x-a）（*），
将（0，0）带入（*）得：a=1，
故切点是（1，$\frac{1}{e}$），k=$\frac{1}{e}$，
故切线方程是：y-$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{e}$（x-1），
整理得：y=$\frac{1}{e}$x；
（2）f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
故f（x）在[-3，0）递减，在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
而f（-3）=9e³，f（0）=0，f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，x→+∞时，f（x）→0，
故f（x）的最小值是0，最大值是f（-3）=9e³．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．