Question

10．已知集合A={x|y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$}，B={y|y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$，x∈R}，C={x|mx＜-1}，
（1）求∁_R（A∩B）；
（2）是否存在实数m使得（A∩B）⊆C成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简集合A、B，再根据交集与补集的定义写出对应的结果；
（2）假设存在实数m使得（A∩B）⊆C成立，讨论m=0、m＞0和m＜0时，
求出集合C，判断是否满足条件即可．

解答 解：（1）因为集合A={x|y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$}={x|-x²+x+2＞0}={x|-1＜x＜2}，
B={y|y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$，x∈R}={y|y∈R}=R，
所以A∩B={x|-1＜x＜2}，
所以∁_R（A∩B）={x|x≤-1或x≥2}；
（2）因为A∩B=（-1，2），
C={x|mx＜-1}，
假设存在实数m使得（A∩B）⊆C成立，
①当m=0时，C=∅，不符合；
②当m＞0时，C={x|＜-$\frac{1}{m}$}，
于是$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{m}≥2}\\{m＞0}\end{array}\right.$，无解，不符合；
③当m＜0时，C={x|x＞-$\frac{1}{m}$}，
于是$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{m}≤-1}\\{m＜0}\end{array}\right.$，无解，不符合；
综上所述，不存在这样的实数m．

点评 本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．