Question

9．设定义域为R的函数f（x）满足$f（x+1）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{{[f（x）]}^2}}$，且$f（-1）=\frac{1}{2}$，则f（2016）的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． 1
• D． 2016

Answer 1

分析 通过已知$f（x+1）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{{[f（x）]}^2}}$，且$f（-1）=\frac{1}{2}$，分别求出f（0），f（1），f（2），f（3）…发现规律，猜测结果．

解答 解：因为$f（x+1）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{{[f（x）]}^2}}$，且$f（-1）=\frac{1}{2}$，令x=-1得到，$f（0）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（-1）-{[f（-1）]}^{2}}$=1；
令x=0得到$f（1）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（0）-{[f（0）]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
令x=1，得到$f（2）=\frac{1}{2}+\sqrt{f（1）-{[f（1）]}^{2}}$=1，
…
函数的周期为2．
所以f（2016）=f（0）=1．
故选：C．

点评 本题考查了特殊函数的函数值的求法，抽象函数以及函数的周期的应用，本题的关键是发现规律．