Question

已知椭圆C的一个焦点F₁（-

3

，0），经过点A（1，

3

2

），对称轴为坐标轴．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，

5

3

）的直线l交椭圆C于M、N两点，线段MN中点为Q，点B（-1，0），当l⊥QB时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），且满足

a2-b2=3 1 a2 + 3 4b2 =1

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当l⊥x轴时，l的方程为x=0，符合题意．当l与x轴不垂直时，设l方程为y=kx+

5

3

，（k≠0）代入

x2

4

+y2=1，得（9+36k²）x²+120kx+64=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件求出l的方程为y=x+

5

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C的一个焦点F₁（-

3

，0），
经过点A（1，

3

2

），对称轴为坐标轴，
∴设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

a2-b2=3 1 a2 + 3 4b2 =1

，
解得a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）当l⊥x轴时，l的方程为x=0，
此时MN中点Q即为原点，
∴BQ⊥l符合题意．
当l与x轴不垂直时，设l方程为y=kx+

5

3

，（k≠0）
代入

x2

4

+y2=1，得（9+36k²）x²+120kx+64=0，
∴△=14400k²-256（9+36k²），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x0 ，y0），
则x0 =

x1+x2

2

=-

120k 9+36k2

2

=-

60k

9+36k2

，
y0=kx0+

5

3

=k(-

60k

9+36k2

)+

5

3

=

15

9+36k2

，
∴kQB=

15 9+36k2

- 60k 9+36k2 +1

=-

1

k

，
化简，得4k²-5k+1=0，解得k=1，或k=

1

4

，
经检检验，k=1，△＞0，符合题意，
∴l的方程为y=x+

5

3

，
综上，l的方程为x=0，或y=x+

5

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意直线方程、椭圆性质、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等知识点的合理运用．