Question

函数f（x）是R上的偶函数，?x∈R恒有f（x+4）=f（x）-f（2），且当x∈（-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，若g（x）=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）在区间（-2，6]上恰有3个零点，则a的取值范围是（　　）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由题意中f（x+4）=f（x）-f（2），可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，又由函数为偶函数，则可得f（x）在区间（-2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，可将方程f（x）-log_ax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为两个函数图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）-f（2），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=(

1

2

)x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
故函数f（x）在区间（-2，6]上的图象如下图所示：
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解
则log_a4＜3，log_a8＞3，
解得：

3	4

＜a＜2，
即a的取值范围是（

3	4

，2）；
故选：D．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，关键是根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题．