Question

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且P（

3

2

，

1

2

），∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（1）若点Q的坐标是（

3

5

，

4

5

），求cos（α-

π

6

）的值；
（2）设函数f（α）=

.

OP

•

.

OQ

，求f（α）的值域．

Answer 1

考点：平面向量的综合题,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：第（1）问先根据三角函数的定义求出α的正余弦值，再代入两角差的余弦公式求出cos(α-

π

6

)；
第（2）问先利用α的三角函数把

OP

、

OQ

的坐标表示出来，再利用数量积的定义求出f（α），按照三角函数求知欲的方法求解，不要忽视了α的取值范围．

解答： 解：（1）由已知可得cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，
∴cos(α-

π

6

)=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．
（2）由已知得

OP

=(

3

2

，

1

2

)，

OQ

=(cosα，sinα)，
∴f(α)=

OP

•

OQ

=(

3

2

，

1

2

)•(cosα，sinα)
=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin

π

3

cosα+cos

π

3

sinα=sin(α+

π

3

)
∵α∈[0，π），∴α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

)，
∴-

3

2

＜sin(α+

π

3

)≤1．
故f（α）的值域是(-

3

2

，1]．

点评：本题是一个三角函数与平面向量的综合，此类问题，要求必须对三角函数的定义及其公式，向量的基本概念和运算熟练掌握，考查的落脚点往往是三角函数的图象或性质，因此三角函数最后一般化简成形如y=Asin（ωx+θ）+C的形式．