Question

设函数f（x）=1+sin2x，g（x）=2cos²x+m，若存在x₀∈[0，

π

2

]，f（x₀）≥g（x₀），则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：把问题转化为y=1+sin2x-2cos²x在已知区间的最大值，由三角函数的知识求解即可．

解答： 解：由题意可得存在x₀∈[0，

π

2

]，使1+sin2x₀-2cos²x₀-m≥0即可满足题意，
故只需存在x₀∈[0，

π

2

]，m≤1+sin2x₀-2cos²x₀，
故只需m≤（1+sin2x-2cos²x）_max，x∈[0，

π

2

]，
化简可得y=1+sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴

2

sin（2x-

π

4

）∈[-1，

2

]，
即y=1+sin2x-2cos²x的最大值为

2

，
∴m≤

2

故答案为：m≤

2

点评：本题考查三角函数的性质，转化为求y=1+sin2x-2cos²x在已知区间的最大值是解决问题的关键，属中档题．