题目内容
（1）已知 0＜α＜
，0＜β＜
，且 3sinβ=sin（2α+β），4tan
=1-tan2
，求α+β的值．
（2）化简求值：
+
+tan20°tan40°tan60°．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| α |
| 2 |
| α |
| 2 |
（2）化简求值：
1-
| ||
|
| ||
1+
|
考点：同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正切函数
专题：三角函数的求值
分析：（1）利用角的等价变换将β=α+β-α，2α+β=α+β+α，将3sinβ=sin（2α+β）展开，只要求出α+β和α的三角函数值，将4tan
=1-tan2
变形求出tanα；
（2）利用两角和与差的正切公式及其变形用求值．
| α |
| 2 |
| α |
| 2 |
（2）利用两角和与差的正切公式及其变形用求值．
解答：
解：（1）∵0＜α＜
，0＜β＜
，且 3sinβ=sin（2α+β），4tan
=1-tan2
，
∴3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
整理得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα，
又4tan
=1-tan2
，∴
=
，∴tanα=
，
∴tan（α+β）=1，
又0＜α＜
，0＜β＜
，∴0＜α+β＜
，∴α+β=
；
（2）
+
+tan20°tan40°tan60°=
+
+
tan20°tan40°
=
+tan40°+
tan20°tan40°
=tan20°+tan40°+
tan20°tan40°
=tan60°（1-tan20°tan40°）+
tan20°tan40°
=tan60°=
．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| α |
| 2 |
| α |
| 2 |
∴3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
整理得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα，
又4tan
| α |
| 2 |
| α |
| 2 |
2tan
| ||
1-tan2
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴tan（α+β）=1，
又0＜α＜
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）
1-
| ||
|
| ||
1+
|
| 1-tan60°tan10° |
| tan60°+tan10° |
| tan60°-tan20° |
| 1+tan60°tan20° |
| 3 |
=
| 1 |
| tan70° |
| 3 |
=tan20°+tan40°+
| 3 |
=tan60°（1-tan20°tan40°）+
| 3 |
=tan60°=
| 3 |
点评：本题考查了三角函数的恒等变形，关键是注意角之间的关系以及函数名称的关系．
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| π |
| 2 |
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A、
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B、-
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| ||||
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| π |
| 6 |
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B、-
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| ||||
D、
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