Question

已知函数f（x）=alnx-

1

4

x+

3a2

4x

-1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a=1，设g（x）=-x²+2bx-4，且满足对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥f（x₂） 恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）f(x)=alnx-

1

4

x+

3a2

4x

-1的定义域是（0，+∞），f′(x)=-

(x-a)(x-3a)

4x2

，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调递区间．
（2）若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，问题等价于f（x）_min≥g（x）_max，由此利用导数性质能求出实数b的取值范围．

解答： 解：（1）f(x)=alnx-

1

4

x+

3a2

4x

-1的定义域是（0，+∞），f′(x)=

a

x

-

1

4

-

3a2

4x2

=-

x2-4ax+3a2

4x2

=-

(x-a)(x-3a)

4x2

，…（2分）
①当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（a，3a）；
单调递减区间是（0，a），（3a，+∞）．
②当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）单调递减．…（5分）
（2）若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
问题等价于f（x）_min≥g（x）_max，
当a=1时，f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1
由（1）知，在（0，2）上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，
∴f（x）_min=f（1）=-

1

2

．…（7分）
g（x）=-x²+2bx-4，x∈[1，2]，
当b＜1时，g（x）_max=g（1）=2b-5，
当1≤b≤2时，g（x）_max=g（b）=b²-4；
当b＞2时，g（x）_max=g（2）=4b-8；
问题等价于

b＜1 - 1 2 ≥2b-5

，或

1≤b≤2 - 1 2 ≥b2-4

，或

b＞2 - 1 2 ≥4b-8

．…（10分）
解得b＜1或1≤b≤

14

2

或b∈∅．…（11分）
即b≤

14

2

，
∴实数b的取值范围是（-∞，

14

2

]．…（12分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用．