Question

已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，若不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，结合不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立得到

k-sinx≤1 k2-sin2x≤1 k-sinx≤k2-sin2x

对一切实数x恒成立，分别求解每一个不等式取交集得k的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在（-∞，1]上的减函数，且不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）恒成立，
∴

k-sinx≤1 k2-sin2x≤1 k-sinx≤k2-sin2x

对一切实数x恒成立，
即

k≤sinx+1 k2≤sin2x+1 k-k2≤sinx-sin2x

对一切实数x恒成立，
由此可得k≤0               ①
k²≤（1+sin²x）_min ②
且k-k²≤（sinx-sin²x）_min ③
由②得，k²≤1，解得-1≤k≤1．
由③得，k-k²≤-2，解得k≤-1或k≥2．
∴k=-1．
即存在实数k=-1，使不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立．
故答案为：{-1}．

点评：本题考查函数单调性的性质，考查了三角函数的有界性及不等式的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．