题目内容
如图，椭圆E：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
（1）求椭圆E 的方程；
（2）当AF1、F1F2、AF2 成等比数列时，求直线AB的方程；
（3）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4 相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由|AB|+|AF2|+|BF2|=8，解得a=2，由此能求出椭圆方程．
（2）由已知得AF1•AF2=4，从而AF1=AF2=2，△AF1F2 是等边三角形，由此能求出直线AB的方程．
（3）由
，得94k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出存在定点M（1，0），符合题意．
（2）由已知得AF1•AF2=4，从而AF1=AF2=2，△AF1F2 是等边三角形，由此能求出直线AB的方程．
（3）由
|
解答：
（15分）
解：（1）因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8，
即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8
而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a，
∴4a=8，解得a=2，
而e=
=
，∴c=
a=1，∴b2=a2-c2=3．
所求椭圆方程为
+
=1
（2）∵AF1、F1F2、AF2 成等比数列，∴AF1•AF2=4，
又AF1+AF2=4，∴AF1=AF2=2，△AF1F2 是等边三角形
∴直线AB 的倾斜角为
或
，
∴直线AB 的方程为
x-y+
=0或
x+y+
=0．
（3）由
，得94k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，
△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，即4k2-m2+3=0
x0=
=-
，y0=
，
∴P(-
，
)，由
．得Q（4，4k+m），
设存在M（x1，0），则由
•
=0
可得-
+
-4x1+x12+
+3=0
∴(4x1-4)
+x12-4x1+3=0，
由于对任意m，k 恒成立，联立解得x1=1．
故存在定点M（1，0），符合题意．
解：（1）因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8，
即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8
而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a，
∴4a=8，解得a=2，
而e=
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）∵AF1、F1F2、AF2 成等比数列，∴AF1•AF2=4，
又AF1+AF2=4，∴AF1=AF2=2，△AF1F2 是等边三角形
∴直线AB 的倾斜角为
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴直线AB 的方程为
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（3）由
|
△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，即4k2-m2+3=0
x0=
| 4km |
| 4k2+3 |
| 4k |
| m |
| 3 |
| m |
∴P(-
| 4k |
| m |
| 3 |
| m |
|
设存在M（x1，0），则由
| MP |
| MQ |
可得-
| 16k |
| m |
| 4kx1 |
| m |
| 12k |
| m |
∴(4x1-4)
| k |
| m |
由于对任意m，k 恒成立，联立解得x1=1．
故存在定点M（1，0），符合题意．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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