Question

已知函数f（x）=

x2

x-2

（x∈R，且x≠2）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=x²-2ax与函数f（x）在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的单调性及单调区间

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=

x2

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+4，令x-2=t，结合y=t+

4

t

+4的单调性，即可求f（x）的单调区间；
（2）由题意，x∈[0，1]时，g（x）∈[-1，0]，确定最小值只能为g（1）或g（a），即可求a的值．

解答： 解：（1）f（x）=

x2

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+4，…（2分）
令x-2=t，由于y=t+

4

t

+4在（-∞，-2），（2，+∞）内单调递增，在（-2，0），（0，2）内单调递减，
∴求得f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（4，+∞）；单调递减区间为（0，2），（2，4）．…（6分）
（2）∵f（x）在x∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[-1，0]，
即x∈[0，1]时，g（x）∈[-1，0]．…（8分）
∵g（0）=0为最大值，∴最小值只能为g（1）或g（a），…（9分）
若g（1）=-1，则

a≥1 1-2a=-1

⇒a=1；
若g（a）=-1，则

1 2 ≤a≤1 -a2=-1

⇒a=1．
综上得a=1…（12分）

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．