Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是线段PC的中点，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）求点F到平面ADE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：DC⊥面EFH，即可证明：EF⊥CD；
（Ⅱ）根据点F到平面ADE的距离等于点H到平面ADE的距离，即可求点F到平面ADE的距离．

解答 证明：（Ⅰ）在侧面PCD中，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是PC中点，
∴DE=1，
过E作EH⊥DC于H，连结FH，
∵底面ABCD是正方形，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，
即$AF=\frac{1}{2}$，
∴AFHD是矩形，
∴FH⊥DC，…（3分）
又EH⊥DC，EH∩FH=H，
∴DC⊥面EFH，…（5分）
又∵EF?面EFH，
∴DC⊥EF．                                   …（6分）
解：（II）由（I）知，FH∥平面ADE，
∴点F到平面ADE的距离等于点H到平面ADE的距离，…（7分）
∵底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，
∴AD⊥侧面PDC，
即AD⊥侧面DEH，
∴AD⊥DE，
${V_{A-DEH}}=\frac{1}{3}•{S_{DEH}}•AD$，
在三棱锥H-ADE中，设点H到平面ADE的距离为d，则${V_{H-ADE}}=\frac{1}{3}•{S_{ADE}}•d$，…（9分）
由于V_H-ADE=V_A-DEH，
∴$\frac{1}{3}•{S_{DEH}}•AD$=$\frac{1}{3}•{S_{ADE}}•d$，
∴DH•EH•AD=AD•DE•d，
∴$\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•2$=2•1•d，…（11分）
∴$d=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即点F到平面ADE的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．                          …（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．