Question

13．如图，在五面体ABCDEF中，面CDE和面ABF都为等边三角形，面ABCD是等腰梯形，点P、Q分别是CD、AB的中点，FQ∥EP，PF=PQ，AB=2CD=2．
（1）求证：平面ABF⊥平面PQFE；
（2）若PQ与平面ABF所成的角为$\frac{π}{3}$，求三棱锥P-QDE的体积．

Answer 1

分析 （1）由ABF为正三角形，且Q为AB的中点，可得FQ⊥AB，再由已知得PQ⊥AB，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PEFQ，再由面面垂直的判定可得平面ABF⊥平面PQFE；
（2）取FQ中点O，连接PO，可得∠PQO为PQ与平面ABF所成的角为$\frac{π}{3}$，求出OP=$\frac{3}{2}$．得到三角形QPE的面积，然后利用等积法求得三棱锥P-QDE的体积．

解答 （1）证明：如图，
∵ABF为正三角形，且Q为AB的中点，∴FQ⊥AB，
在等腰梯形ABCD中，∵P、Q分别是CD、AB的中点，
∴PQ⊥AB，又FQ∩PQ=Q，∴AB⊥平面PEFQ，
又AB?面ABF，∴平面ABF⊥平面PQFE；
（2）解：取FQ中点O，连接PO，∵PQ=PF，∴PO⊥QF，
又平面ABF⊥平面PQFE，且平面ABF∩平面PQFE=QF，
∴PO⊥平面ABF，则∠PQO为PQ与平面ABF所成的角为$\frac{π}{3}$，
∵等边三角形ABF的边长为2，∴QF=$\sqrt{3}$，则OQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则OP=$\frac{3}{2}$．
∴${S}_{△QPE}=\frac{1}{2}×1×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$，
则${V}_{P-QDE}={V}_{D-PQE}=\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．